教学研讨｜1.3.1 二项式定理
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▍来源：网络
研讨素材一
一、教学目标
1.知识与技能:
掌握二项式定理和二项展开式的通项公式
2.过程与方法:
能解决二项展开式有关的简单问题
3.情感、态度与价值观:
教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
二、内容分析
二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等.
通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识,同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成.
二项式定理本身是教学重点,因为它是后面一切结果的基础.通项公式,杨辉三角,特殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点.
二项式定理的证明是一个教学难点.这是因为,证明中符号比较抽象.
在教学中,努力把表现的机会让给学生,以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动的机会,以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识,以使他们能在再创造的氛围中学习.
三、重点难点
教学重点:用计数原理分析 展开式,得到二项式定理。
教学难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律
四、教学过程
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研讨素材二
《二项式定理》教学设计
湖南师大附中梅溪湖中学 曹稳
一、教材分析
本概念选自人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学必修（1）》第一章第三节第一小节.第一节《计数原理》、第二节《排列组合》的学习为研究二项式定理奠定了基础，一方面是因为它的证明要用到计数原理，另一方面可以把它作为计数原理的一个应用，同时也为学习随机变量及其分布作准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，二项式定理对本章知识与第二章知识的学习有承上启下的作用．
本节课要在用计数原理解决预设问题的基础上，得出二项式定理的猜想，并用计数原理给出证明．
二、学情分析
学生在此节内容之前已经学习了两个计数原理与排列组合问题，并能运用它们解决一些计数问题了；同时，在初中已经熟练掌握了的展开公式，也了解了的展开公式．但是，学生对于计数原理与这些多项式乘法运算公式之间的联系是陌生的，所以对于学生来说，如何建立它们之间的联系并猜想得出二项式定理是本节课的一个重点，并用计数原理证明二项式定理是本节课的一个难点．
三、教法分析
根据“最近发展区”的教学理论，把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中产生新的知识经验，需要教师精心设计问题，创新问题情境，贯穿启发式教学原则，调控问题的解决过程；采用“多媒体引导点拔”的教学方法以多媒体演示为载体，以“联想类比引导思考”为核心，设计课件与板书展示，引导学生积极思考探索，逐步达到即定的教学目标．
四、学法分析
”建构主义”强调，学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者，因教必须以学为主立足点，根据学生的思维特点，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建，在教学的各个环节中引导学生进行类比迁移归纳分析，对照学习；学生在教师营造的”可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识，掌握规律，主动发现，主动发展．
五、教学手段
制作PPT与Flash动画教学课件，利用电脑等多媒体教学设备展现二项式定理的发现与证明过程，激发学生的学习兴趣，提高学习的效率．利用自制教具辅助引入问题的解决，增强数学活动的直观性。
六、教学目标
1.知识与技能：
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.
2.过程与方法：
(1)通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．
(2)引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．
3.情感、态度与价值观：
培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．通过二项式定理的发现、推广、证明及杨辉三角历史的了解，进一步激发学生的学习兴趣，培养对科学的探究与钻研精神，渗透爱国主义教育。
4.活动体验：
通过教师提出问题并引导学生主动探究、解决问题的过程，让学生在教学活动中主动发现、大胆猜想、主动发展，达到提高学习能力与渗透情感教育的目的．
七、教学重点、难点
重点：用计数原理分析的展开式，得到二项式定理．
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.
八、教学过程
教学过程 |
（一）复习旧知，提出问题 问题1：一个箱子装着标有字母的两个大小，形状一样的球，从中摸出1个球，有可能出现哪些结果？每一种结果有多少种情况？ 问题2：两个箱子均装着标有字母的两个大小，形状一样的球，从每个箱子中摸出一个球，共摸出2个球，有可能出现哪些结果？每一种结果有多少种情况？ 问题3：三个箱子均装着标有字母的两个大小，形状一样的球，从每个箱子个摸出一个球，共摸出3个球，有可能出现哪些结果？每一种结果有多少种情况？ |
(二) 归纳类比，提出猜想 问题4：请同学们认真观察每个问题的结果及其结果的种数，是否联想到我们非常熟悉的代数运算公式呢？ ，
问题5：请同学们大胆地猜想的展开式是怎样的？
猜想：
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(三) 说理证明，形成定理 说理证明： 是n个相乘，相当于有n个箱子，从每个箱子摸一个球，共摸出n个球，相当于没摸出球的结果，相当于摸出1个球的结果，同学们看这个式子，这相当于摸出k个球的结果，一直到相当于摸出n个球的结果，，而每一项对应的系数就是每一种结果对应的种数．从而就出现我们今天所要学习的非常重要的定理-----二项式定理． 等式的右边叫做二项展开式．
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(四) 熟悉定理，发现特征 问题7：进一步研究二项式定理，同学们可以发现二项展开式有哪些特征吗？ 1. 项数：共有项. 2. 次数：各项字母、指数和都等于． 字母按降幂排列，次数由递减到0； 字母按升幂排列，次数由0递增到． 3. 二项展开式的通项: 式中的叫做二项展开式的通项. 用表示.即通项为展开式的第１项: = 4. 二项式系数: 依次为， 这里称为二项式系数. |
（五）结束语 二项式定理最高中数学中一个非常重要的定理，最先由牛顿提出，后来高斯进行了严格的证明．其实二项式系数的特征最早由我国南宋时期杰出的数学家杨辉提出，中国古代数学史有自己的光辉灿烂的篇章，作为现代的我们要更好的学习数学、应用数学，大胆地猜想．牛顿说过：没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明． |
九、教学资源整合与运用说明：
在资源整合与运用方面，本概念教学设计有以下5大创新之处：
创新之一：巧妙创设课题情境
建构主义认为：活动是第一位的，在做数学中学数学.因此，我设置了摸球活动来导入新课，从而激发学生的学习兴趣，让学生体会到数学来源于生活实际，为学生架起一条“从生活走向知识”的桥梁，帮助学生从特殊到一般、从感性认识到抽象思维过渡.
创新之二：优化课堂教学方法
坚持以学生为主体，学生思维为主线，让学生经历积极思考、解决问题、类比联想、归纳猜想、推理证明、定理应用等过程，体现了学生学习的主体性，有利于学生养成自主探究、主动发展的学习习惯 ,注重“四基”数学课程目标，落实学生数学核心素养的培养.
创新之三：创新板书设计
在板书设计中，将三种情形摸球结果与结果的种数按三角形形状板书，借助几何直观，利用图形理解二项式定理的特征，为二项式定理的猜想与证明奠定了方法基础，培养学生创新思维与“直观想象”核心素养．
创新之四：渗透数学思想方法
J.S布鲁纳指出：领会基本数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路” .因此，我将多种数学思想贯穿于本设计中的各个环节.比如教师在由摸球问题引入到课题的设计上，渗透了类比思想；在由观察展开式引导猜想展开式的设计中，渗透了由特殊到一般的数学思想．
创新之五：培养学生人文素养
新课标指出，“高中数学课程提倡体现数学的文化价值”,因此，我适时挖掘教材中的人文教育因素.比如在追溯二项式定理发现、证明的历史，介绍中国古代数学史的设计上，激发学生的学习欲望的同时培养学生的科学人文精神和理性探究精神，达到“挖掘潜能、完善人格”的目的需求.同时，适时对学生进行爱国主义思想教育．
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